Προσδιορισμός σταθεράς ελατηρίου με χρήση Smartphone

Με την εργαστηριακή συσκευή του Νόμου Hooke προσδιορίστηκε η σταθερά k ενός ελατηρίου που είχε φυσικό μήκος L_o = 3,3 cm. Η πειραματική διαδικασία έχει ως εξής:

Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου αναρτούμε σώματα διαφορετικής μάζας και κάθε φορά καταγράφουμε το μήκος L του ελατηρίου. Υπολογίζουμε το βάρος του αναρτημένου σώματος (ίσο με τη δύναμη F που του ασκεί το ελατήριο στην κατάσταση ισορροπίας) καθώς και τη μεταβολή μήκους (επιμήκυνση) του ελατηρίου ΔL = L - L_o.

Πίνακας πειραματικών δεδομένων

Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τη γραφική παράσατση F = f(ΔL) και προσδιορίζουμε τη σταθερά του ελατηρίου ως την κλίση της γραφικής παράστασης.

Γραφική παράσταση F = f(ΔL) και καλύτερη ευθεία προσαρμογής

Κατ' αυτό τον τρόπο η σταθερά του ελατηρίου προσδιορίζεται ίση με k = 52,5 N/m.

Θα προσδιορίσουμε στη συνέχεια τη σταθερά του ελατηρίου με τη μέθοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης και τη βοήθεια του "έξυπνου" κινητού τηλεφώνου μας. Με βάση τη σχέση που δίνει την περίοδο των ταλαντώσεων ενός συστήματος σώματος - ελατηρίου, προκύπτει:

Η μάζα του ταλαντούμενου σώματος υπολογίζεται με ζύγιση. Απομένει ο προσδιορισμός της περιόδου, ώστε τελικά να υπολογιστεί η σταθερά k του ελατηρίου.

Πρώτο Πείραμα
Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου αναρτούμε ένα κυλινδρικό σώμα που η μάζα του με ζύγιση βρέθηκε: m = 0,510 kg. Ακριβώς κάτω από το σώμα και σε κατάλληλη απόσταση τοποθετούμε το κινητό μας τηλέφωνο.

Πειραματική διάταξη (1)

Στο κινητό εκτελούμε την εφαρμογή Physics Toolbox Suite και επιλέγουμε να χρησιμοποιήσουμε τον αισθητήρα προσέγγισης ή εγγύτητας (Proximeter). Ο συγκεκριμένος αισθητήρας ενεργοποιείται κάθε φορά που κάποιο αντικείμενο πλησιάζει σε μικρή απόσταση το κινητό μας. Ρυθμίζουμε την απόσταση κινητού - ταλαντούμενου σώματος ώστε ο αισθητήρας να ενεργοποιείται όταν το ταλαντούμενο σώμα περνάει περίπου από τη θέση ισορροπίας του.

Physics Toolbox Proximeter - Βασική οθόνη

Για τις ανάγκες του πειράματος θα χρησιμοποιήσουμε το "Pendulum mode" στο οποίο το λογισμικό επιστρέφει το χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δυο διαδοχικών προσεγγίσεων του ταλαντούμενου σώματος στο κινητό. Προφανώς ο χρόνος αυτός ισούται με την περίοδο του συστήματος. Θέτουμε σε ταλάντωση το σύστημα, ενεργοποιούμε το "Pendulum mode" στο Physics Toolbox, και αφήνουμε να καταγραφούν τουλάχιστον δέκα (10) διαδοχικά χρονικά διαστήματα προσέγγισης.

Proximeter - Pendulum mode

Υπολογίζουμε τη μέση τιμή της περιόδου ταλάντωσης του συστήματος σώμα-ελατήριο: Τ = 0,6273 s και τελικά τη σταθερά του ελατηρίου: k = 51,2 N/m. Στην αναγραφή του αποτελέσματος για τη μέση τιμή της περιόδου διατηρήθηκαν περισσότερα δεκαδικά ψηφία από αυτά που επιβάλλουν οι σχετικοί κανόνες και με βάση το γεγονός ότι η αβεβαιότητα στον υπολογισμό της μέσης τιμής της περιόδου είναι σ_Τ = 0,02 s. Αυτό έγινε για αποφυγή επιπλέον σφαλμάτων λόγω της στρογγυλοποίησης στις πράξεις που ακολουθούν.

Δεύτερο Πείραμα
Θα καταγράψουμε την επιτάχυνση του ταλαντούμενου σώματος με χρήση του ενσωματωμένου στο "έξυπνο" κινητό μας επιταχυνσιομέτρου. Με δύο χιαστί τοποθετημένα λάστιχα στερεώνουμε το κινητό στο κάτω μέρος του ταλαντούμενου συστήματος. Η συνολική μάζα του συστήματος σώμα - κινητό και λάστιχα μετρήθηκε και βρέθηκε ίση με 0,624 kg.

Πειραματική διάταξη (2)

Για την καταγραφή της επιτάχυνσης χρησιμοποιούμε το ελεύθερο λογισμικό SPARKvue της Pasco. Καταγράφουμε την επιτάχυνση στον άξονα z'z (τον άξονα της κίνησης) με ρυθμό δειγματοληψίας 100 Hz που μας επιτρέπει καλή αναπαράσταση της μεταβολής της επιτάχυνσης και  διακριτική ικανότητα στη μέτρηση του χρόνου ίση με 0,01s. Τμήμα της γραφικής παράστασης των τιμών της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως απεικονίζεται στην οθόνη του κινητού φαίνεται στην επόμενη εικόνα.

Τμήμα των πειραματικών δεδομένων επιτάχυνσης - χρόνου

Με το εργαλείο "Select" επιλέγουμε ένα τμήμα της γραφικής παράστασης από ένα μέγιστο της καμπύλης μέχρι κάποιο από τα επόμενα μέγιστα της καμπύλης. Στην οθόνη του κινητού το επιλεγμένο τμήμα της γραφικής παράστασης έχει τονιστεί με κίτρινο χρώμα (όπως φαίνεται και στην επόμενη εικόνα). Με το εργαλείο "Graph Coordinate Information" εμφανίζουμε στην οθόνη πληροφορίες για τις συντεταγμένες του αρχικού και του τελικού σημείου του επιλεγμένου τμήματος της γραφικής παράστασης.

Λήψη δεδομένων από τη γραφική παράσταση επιτάχυνσης - χρόνου

Προκύπτει ότι t₁ = 34,12 s και t₂ = 37,52 s, ενώ το χρονικό διάστημα Δt = t₂ - t₁ = 3,40 s αντιστοιχεί όπως φαίνεται στην εικόνα σε 5 πλήρεις περιόδους της κίνησης. Συνεπώς προκύπτει:

και τελικά υπολογίζεται η σταθερά του ελατηρίου ως:  k = 53,3 N/m.